LA CONSTRUCCIÓN DE ARCOS

Existen variedades de construcción de arcos, así como cada uno con su estilo arquitectónico, y la formación de cada tipo de arco se basa en unos fundamentos de dibujos geométricos, como podréis ver en la ilustración aquí arriba insertada.

 

Esos arcos, no sólo proporcionan estética, sino que además reparten las fuerzas de carga superiores, desplazándolas por los lados, dejando el hueco de la parte de abajo, fueran entradas o ventanas. Podemos ver por ejemplo, que la construcción de puentes de piedra, se basa en el principio de los arcos.

 

El tipo más conocido y más fácil de realizar, es el llamado “arco de medio punto”, basado en media circunferencia. Para realizar un arco, nos hará falta una cimbra de madera con la que soportar el material, fuera piedra o ladrillos a sardinel tangentado, hasta que al colocar la última pieza logra hacer el cierre del arco. Esa cimbra se puede soportar con tablones, maderas o puntales.

 

Ya al poco de terminar de dar la vuelta al arco ya formado y cuando ya  ha fraguado un poco, se recomienda ya quitar esa cimbra-plantilla, para que el arco por su propio peso acabe por ajustarse por sí mismo, cosa que se aprovechará para limpiar las juntas y las partes que tocaban asentadas con la cimbra.

 

A falta de la costosa cimbra (es muy cara de realizar por parte de carpinteros, especialmente si es un arco muy grande, y a veces ya ni se vuelve a reutilizar), se puede realizar con los materiales que se tengan a mano, por ejemplo, formar pilas de ladrillos, hasta que en la parte superior se le pone una flexible fullola de madera, que se puede brincar formando la curva del arco, y reforzándola con algo de yeso por debajo de los soportantes.

 

Para la construcción, hay que buscar el centro del arco, marcar el repartido de los ladrillos o piedras, para que encajen bien enteras, y con un hilo largo, aprovechar de guía para ver si se coloca las piedras o los ladrillos tangentes al centro del arco, cosa que significa que con ladrillos colocados a sardinel curvado, la junta de abajo será más delgada que la junta del extremo. 

Veamos ese vídeo sobre construcción moderna de arcos de piedra:

¿CÓMO MULTIPLICABAN LOS ANTIGUOS CHINOS ?

Por si alguna vez estallan el internet y el resto de las telecomunicaciones, y no tenéis una calculadora a mano a través del móvil o de cualquier otro artilugio, quizás os venga bien conocer el truco sobre las multiplicaciones, lo más usado y lo más complicado de hacer después de sumar o restar manualmente. Los antiguos chinos, aparte de ábacos, tenían ese truco que sería bueno de saber por parte nuestra. Os lo dejo aquí como muestra y recurso por si alguna vez se os pierde la calculadora o se desconecta el internet y resto de telecomunicaciones y por decirlo de alguna manera volvemos como a la edad de piedra en la que no teníamos máquinas para calcular:

 

 OTRO EJEMPLO MÁS SENCILLO DE LO MISMO, EN VÍDEO PARECIDO:

Aprovecho para anotaros lo que dice un viejo proverbio chino: Tienes un problema, ¿tiene solución? - Si. Entonces ¿para qué te preocupas? - No. Entonces ¿para qué te preocupas?

MATEMÁTICAS PARA ALBAÑILES: LA REGLA DE TRES

Se me había olvidado de incluir entre mis anteriores entradas relacionadas sobre las matemáticas básicas para albañiles la fórmula de la regla de tres, que desde aquí os la incluyo, y que como podéis ver, es muy fácil de entender: para saber el valor de “X”, se multiplica un número el número que está opuesto en diagonal el otro, y se divide por el otro número que está opuesto en diagonal con el propio valor de “X” que queremos saber:

EL NUMERO AUREO

El alemán Johannes Kepler decía: "La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras y el otro es la división de un segmento en divina proporción. El primero se puede comparar con una pieza de oro; el segundo se lo puede considerar una preciosa joya"

Veamos qué es la divina proporción:

Consideremos un rectángulo de dimensiones a y b, de manera que si le quitamos un cuadrado de lado a, el rectángulo que quede sea semejante al primero.

A los griegos, las dimensiones del rectángulo anterior les parecían tan armoniosas que lo llamaron rectángulo áureo. Y a la proporción entre sus lados b / a , número áureo o divina proporción.

Para calcularlo, tomaremos como unidad el lado menor a = 1.

El lado mayor, por lo tanto, será el número a que nos referíamos antes. Su valor se obtiene teniendo en cuenta que los dos rectángulos, ABCD y EBCF, son semejantes.

Por ser semejantes los rectángulos, sus dimensiones son proporcionales, y de aquí se obtiene que el lado mayor es:

1 + Ö 5
2

Este número, llamado F , es el primero del que se tuvo conciencia de que era irracional. Su valor es:



También vale F la relación entre la diagonal y el lado del pentágono regular. Es decir, el número F está implícito en el pentágono estrellado, que era el símbolo de los pitagóricos.

EL TEOREMA DE NAPOLEÓN BONAPARTE

Se sabe que Napoleón Bonaparte, además de ser un astuto general, fue muy aficionado a las matemáticas, con especial afición por la geometría. Se cuenta que, antes de proclamarse Emperador, siendo general, se enzarzó en una discusión sobre matemáticas nada menos que con Lagrange y Laplace, dos de los mejores matemáticos de todos los tiempos, hasta que Laplace le advirtió seriamente: "Lo último que esperamos de usted, General, es una lección de geometría".

El teorema que ahora expondremos es atribuido a Napoleón, aunque parece dudoso que pudiera contar con los conocimientos adecuados para haberlo demostrado por su cuenta:

Se tiene un triángulo cualquiera ABC. Sobre cada uno de sus lados se construye un triángulo equilátero, hacia el exterior del triángulo ABC. Llamemos O1, O2, O3 a los circuncentros de estos tres triángulos equiláteros. Entonces, sea como sea el triángulo ABC, el triángulo O1 O2 O3 es equilátero.

MATEMÁTICAS PARA ALBAÑILES: MÁS SOBRE EL NUMERO PI

Cuando mides el diámetro de un plato o de algún otro objeto circular y, después, ayudándote de un hilo, mides la circunferencia del contorno del objeto, al comparar las dos medidas estás hallando la razón entre la circunferencia y su diámetro.

Esta razón es mayor que tres. Si repites con cuidado este experimento con objetos circulares de diferentes tamaños, encontrarás que la razón entre la circunferencia de un círculo y su diámetro es constante. A este valor constante le llamamos PI
Las antiguas civilizaciones ya conocían la citada razón constante ,y así, los babilonios asignaban a p un valor 3, y los egipcios 3,1604

Los griegos fueron los primeros en demostrar que la razón entre las longitudes de la circunferencia y su diámetro es constante.

Arquímedes de Siracusa, trabajando con los polígonos regulares inscritos y circunscritos a un círculo, logró establecer unos límites para el valor p .

Los griegos no pudieron obtener un valor fraccionario exacto para p. La razón es que p no es un número fraccionario, sino un número decimal con infinitas cifras no periódicas. Este hecho no fue probado hasta 1882.

Los matemáticos se han interesado por el valor de p durante muchos siglos. En ninguna época han cesado los esfuerzos por obtener buenas aproximaciones. Una de las mejores aproximaciones es que consiguió Otho, alrededor del año 1600, con la fracción 355 / 113

A partir del siglo XVII, con el nacimiento y desarrollo del cálculo infinitesimal, fue cuando se obtuvieron numerosas expresiones de p en función de sumas o productos infinitos

Con las operaciones anteriores y otras más, se puede calcular el valor de p con el número de cifras decimales exactas que deseemos. En la actualidad se conocen varios millones de cifras decimales de p. Esta precisión no aporta nada a la utilización práctica de p en el cálculo de longitudes, áreas y volúmenes relacionados con cuerpos redondos.

Estos valores de p, con millones de cifras decimales, son utilizados para comprobar si los superordenadores están bien construidos.

MATEMÁTICAS PARA ALBAÑILES: EL NUMERO PI Y LA CIRCUNFERENCIA

Cuando hay que medir la longitud de la circunferencia o el área del círculo, empleamos el número pi

Conozcamos un poco su historia.

Arquímedes, matemático y físico griego que vivió en el siglo III a. C. en la ciudad de Siracusa, fue un gran estudioso de la geometría. La medición de la longitud de la circunferencia y del área del círculo eran su obsesión. Escribió un libro dedicado a ello.
Murió a manos de los soldados romanos que invadieron su ciudad durante la segunda guerra púnica. Se cree que estaba en la playa dibujando circunferencias en la arena cuando fue sorprendido por un soldado romano.

Hacía ya tiempo que la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro se consideraba una constante, es decir, un número fijo, pero al no ser un número entero, era difícil de calcular.

Al número se le llamó número de Arquímedes.

El sabio realizó los cálculos necesarios para obtenerlo a partir del cálculo de los perímetros de dos polígonos de 96 lados inscrito y circunscrito, respectivamente, a una circunferencia.

Observa que la longitud de la circunferencia está comprendida entre los perímetros de los polígonos regulares, el inscrito y el circunscrito.

Arquímedes, con sus cálculos, obtuvo el llamado número pi, y añadió que puede tomarse = 3,1416, valor que aún en nuestros días solemos tomar para efectuar cálculos en los que interviene dicho número.

MATEMÁTICAS PARA ALBAÑILES : MÁS SOBRE EL TEOREMA DE PITAGORAS

El teorema de Pitágoras dice:
El cuadrado construido sobre la hipotenusa tiene la misma área que la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

Se puede comprobar que el teorema anterior se cumple cuando sustituimos los cuadrados por triángulos equiláteros o por hexágonos regulares.

De manera general se cumple para cualquier polígono regular, lo que permite enunciar:

El polígono regular de n lados construido sobre la hipotenusa tiene la misma área que la suma de las áreas de los polígonos regulares de n lados construidos sobre los catetos.

Y también el semicírculo construido sobre la hipotenusa, y de radio media hipotenusa, tiene la misma área que la suma de las áreas de los semicírculos construidos sobre los catetos, con radio de medio cateto respectivamente.

A ver que nos cuenta ese albañil sobre el dichoso teorema:

 

MATEMÁTICAS PARA ALBAÑILES: EL FAMOSO TEOREMA DE PITAGORAS

El teorema de Pitágoras dice:
El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos


Comprobemos la fórmula:

Observa que las figuras del gráfico son equivalentes porque tienen la misma área.

Se han formado en cada figura cuatro triángulos rectángulos T de iguales dimensiones, y por tanto, de igual área.

Por lo tanto, el área del cuadrado C es igual a la suma de las áreas de los cuadrados

C1 y C2

Area de C = área de C1 + área de C2

Siendo el área del cuadrado C = a2, el área del cuadrado C1 = c2 y el área del cuadrado C2 = b2

Tenemos que


Observa el siguiente ejemplo:

Sobre cada uno de los lados de un triángulo rectángulo se construye un cuadrado de lado igual a su longitud.

El área del cuadrado correspondiente a la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados correspondientes a los catetos.

25 = 16 + 9 ® 52 = 42 + 32

MATEMÁTICAS PARA ALBAÑILES: CÁLCULO DEL AREA DEL CIRCULO

El área del círculo es igual al producto de la circunferencia por el radio al cuadrado.

Vamos a intentar dar una justificación de la fórmula:

MATEMÁTICAS PARA ALBAÑILES: CÁLCULO DE LA SUPERFICIE DEL TRAPECIO

Si tenemos un trapecio, llamamos altura a la distancia entre sus dos bases.
Consideremos un trapecio. Si tomamos otro trapecio igual y los unimos, podemos observar que se forma un paralelogramo de base igual a la suma de las bases del trapecio y de igual altura.

Por lo tanto, el área del trapecio será la mitad del área de este paralelogramo

El área de un trapecio es igual a la semisuma de sus bases por la altura.
El área de un trapecio de base mayor 7 m, base menor 3 m y altura 2 m es